Một hàm hữu tỉ là một phương trình có dạng y = N (x) / D (x) trong đó N và D là các đa thức. Cố gắng phác thảo một đồ thị chính xác bằng tay có thể là một bài ôn tập toàn diện của nhiều chủ đề toán trung học phổ thông quan trọng nhất từ đại số cơ bản đến phép tính vi phân. Hãy xem xét ví dụ sau: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).
Các bước
Bước 1. Tìm giao tuyến y
Đơn giản chỉ cần đặt x = 0. Mọi thứ trừ các số hạng hằng số biến mất, để lại y = 5/2. Biểu thị đây là một cặp tọa độ, (0, 5/2) là một điểm trên biểu đồ. Vẽ đồ thị cho điểm đó.
Bước 2. Tìm đường tiệm cận ngang
Chia dài mẫu số thành tử số để xác định hành vi của y đối với các giá trị tuyệt đối lớn của x. Trong ví dụ này, phép chia cho thấy y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Đối với các giá trị âm hoặc dương lớn của x, 17 / (8 x + 4) tiệm cận 0 và đồ thị xấp xỉ đường y = (1/2) x - (7/4). Sử dụng một đường đứt nét hoặc vẽ nhẹ, vẽ biểu đồ cho đường này.
- Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số thì không có phép chia nào để thực hiện và đường tiệm cận là y = 0.
- Nếu deg (N) = deg (D), đường tiệm cận là một đường nằm ngang theo tỷ lệ của các hệ số hàng đầu.
- Nếu deg (N) = deg (D) + 1, đường tiệm cận là một đường có độ dốc là tỷ số của các hệ số hàng đầu.
- Nếu deg (N)> deg (D) + 1, thì đối với các giá trị lớn của | x |, y nhanh chóng chuyển đến dương hoặc âm vô cùng dưới dạng đa thức bậc hai, bậc ba hoặc bậc cao hơn. Trong trường hợp này, có lẽ không đáng để vẽ biểu đồ chính xác thương số của phép chia.
Bước 3. Tìm các số không
Một hàm hữu tỉ có số 0 khi tử số của nó là 0, do đó đặt N (x) = 0. Trong ví dụ, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Phân thức của bậc hai này là b 2 - 4 ac = 62 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Vì số phân biệt là âm nên N (x), và do đó là f (x), không có gốc thực. Đồ thị không bao giờ đi qua trục x. Nếu tìm thấy bất kỳ số 0 nào, hãy thêm các điểm đó vào biểu đồ.
Bước 4. Tìm các dấu hiệu không xác định theo chiều dọc
Một tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng không. Đặt 4 x + 2 = 0 cho đường thẳng đứng x = -1/2. Vẽ đồ thị của mỗi tiệm cận đứng bằng một đường sáng hoặc nét đứt. Nếu giá trị nào đó của x làm cho cả N (x) = 0 và D (x) = 0, thì có thể có hoặc không có tiệm cận đứng ở đó. Điều này hiếm khi xảy ra, nhưng hãy xem các mẹo để biết cách đối phó với nó nếu nó xảy ra.
Bước 5. Nhìn vào phần còn lại của phép chia trong bước 2
Khi nào thì giá trị dương, âm hay 0? Trong ví dụ, tử số của phần dư là 17 luôn là số dương. Mẫu số, 4 x + 2, là dương ở bên phải của tiệm cận đứng và âm ở bên trái. Điều này có nghĩa là đồ thị tiếp cận tiệm cận tuyến tính từ phía trên đối với các giá trị dương lớn của x và từ phía dưới đối với các giá trị âm lớn của x. Vì 17 / (8 x + 4) không bao giờ có thể bằng 0 nên đồ thị này không bao giờ cắt đường thẳng y = (1/2) x - (7/4). Đừng thêm bất cứ điều gì vào biểu đồ ngay bây giờ, nhưng hãy lưu ý những kết luận này cho sau này.
Bước 6. Tìm cực trị địa phương
Cực trị cục bộ có thể xảy ra bất cứ khi nào N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Trong ví dụ, N '(x) = 4 x - 6 và D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. Mở rộng, kết hợp các số hạng và chia cho 4 lá x 2 + x - 4 = 0. Công thức bậc hai cho thấy các nghiệm nguyên gần x = 3/2 và x = -5/2. (Các giá trị này chênh lệch khoảng 0,06 so với các giá trị chính xác, nhưng biểu đồ của chúng tôi sẽ không đủ chính xác để lo lắng về mức độ chi tiết đó. Việc chọn một giá trị gần đúng hợp lý giúp bước tiếp theo dễ dàng hơn.)
Bước 7. Tìm giá trị y của mỗi điểm cực trị cục bộ
Cắm các giá trị x từ bước trước trở lại hàm hợp lý ban đầu để tìm các giá trị y tương ứng. Trong ví dụ, f (3/2) = 1/16 và f (-5/2) = -65/16. Thêm các điểm này, (3/2, 1/16) và (-5/2, -65/16), vào biểu đồ. Vì chúng ta đã tính gần đúng ở bước trước, đây không phải là cực tiểu và cực đại chính xác, nhưng có thể là gần. (Chúng ta biết (3/2, 1/16) rất gần với cực tiểu cục bộ. Từ bước 3, chúng ta biết rằng y luôn dương khi x> -1/2 và chúng ta tìm thấy một giá trị nhỏ bằng 1/16, vì vậy ít nhất trong trường hợp này, lỗi có thể nhỏ hơn độ dày của đường.)
Bước 8. Kết nối các điểm và kéo dài biểu đồ từ các điểm đã biết đến các điểm không có dấu hiệu một cách trơn tru, cẩn thận để tiếp cận chúng từ hướng chính xác
Chú ý không vượt qua trục x ngoại trừ các điểm đã tìm thấy ở bước 3. Không vượt qua đường tiệm cận ngang hoặc tuyến tính ngoại trừ các điểm đã được tìm thấy trong bước 5. Không thay đổi từ dốc lên sang dốc xuống ngoại trừ tại cực trị được tìm thấy trong bước trước.
Video - Bằng cách sử dụng dịch vụ này, một số thông tin có thể được chia sẻ với YouTube
Lời khuyên
- Một số bước này có thể liên quan đến việc giải một đa thức bậc cao. Nếu bạn không thể tìm ra lời giải chính xác thông qua phân tích nhân tử, công thức hoặc các phương tiện khác, thì hãy ước lượng các nghiệm bằng cách sử dụng các kỹ thuật số như phương pháp Newton.
- Nếu bạn làm theo các bước theo thứ tự thì thường không cần sử dụng các kiểm tra đạo hàm thứ hai hoặc các phương pháp phức tạp tương tự để xác định xem các giá trị tới hạn có phải là cực đại cục bộ, cực tiểu cục bộ hay không. Cố gắng sử dụng thông tin từ các bước trước và một chút logic trước.
- Nếu bạn đang cố gắng thực hiện việc này chỉ với các phương pháp tính toán trước, bạn có thể thay thế các bước tìm điểm cực trị cục bộ bằng cách tính toán một số cặp có thứ tự bổ sung (x, y) giữa mỗi cặp không dấu. Ngoài ra, nếu bạn không quan tâm lý do tại sao nó hoạt động, không có lý do gì khiến một sinh viên tính toán trước không thể lấy đạo hàm của một đa thức và giải N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
Trong một số trường hợp hiếm hoi, tử số và mẫu số có thể có một thừa số chung. Nếu bạn đang làm theo các bước, điểm này sẽ hiển thị dưới dạng số 0 và tiệm cận đứng ở cùng một vị trí. Điều đó là không thể và những gì thực sự xảy ra là một trong những điều sau:
- Số 0 trong N (x) có tính bội cao hơn số 0 trong D (x). Đồ thị của f (x) tiệm cận 0 tại thời điểm này, nhưng không được xác định ở đó. Cho biết điều này bằng một vòng tròn mở xung quanh điểm.
- Số 0 trong N (x) và 0 trong D (x) có tính bội bằng nhau. Đồ thị tiếp cận một số điểm khác không cho giá trị này của x, nhưng không được xác định ở đó. Một lần nữa chỉ ra điều này bằng một vòng tròn mở.
- Số 0 trong N (x) có bội số thấp hơn 0 trong D (x). Có một tiệm cận đứng ở đây.
