Cách vẽ đồ thị phương trình bậc hai: 10 bước (có hình ảnh)

2024 Tác giả: Robert Blare | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-02-02 02:08

Khi vẽ đồ thị, phương trình bậc hai có dạng cây rìu² + bx + c hoặc a (x - h)² + k cho một hình chữ U trơn hoặc một đường cong hình chữ U ngược gọi là một parabol. Vẽ đồ thị của một phương trình bậc hai là vấn đề tìm kiếm đỉnh, hướng và thường là các giao điểm x và y của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai tương đối đơn giản, chỉ cần thêm một dải giá trị x và vẽ một đường cong dựa trên các điểm kết quả là đủ. Xem Bước 1 bên dưới để bắt đầu.

Các bước

Bước 1. Xác định xem bạn có dạng phương trình bậc hai nào

Phương trình bậc hai có thể được viết dưới ba dạng khác nhau: dạng chuẩn, dạng đỉnh và dạng bậc hai. Bạn có thể sử dụng một trong hai dạng để vẽ đồ thị phương trình bậc hai; quá trình vẽ đồ thị mỗi loại hơi khác nhau. Nếu bạn đang làm bài tập về nhà, bạn sẽ thường nhận được vấn đề ở một trong hai dạng này - nói cách khác, bạn sẽ không thể chọn, vì vậy tốt nhất bạn nên hiểu cả hai. Hai dạng của phương trình bậc hai là:

• Mẫu.

  Ở dạng này, phương trình bậc hai được viết là: f (x) = ax² + bx + c trong đó a, b, c là các số thực và a không bằng 0.

  Ví dụ, hai phương trình bậc hai dạng chuẩn là f (x) = x² + 2x + 1 và f (x) = 9x² + 10x -8.

• Dạng đỉnh.

  Ở dạng này, phương trình bậc hai được viết dưới dạng: f (x) = a (x - h)² + k trong đó a, h, k là các số thực và a không bằng 0. Dạng đỉnh được đặt tên như vậy vì h và k trực tiếp cung cấp cho bạn đỉnh (điểm trung tâm) của parabol của bạn tại điểm (h, k).

  Phương trình dạng hai đỉnh là f (x) = 9 (x - 4)² + 18 và -3 (x - 5)² + 1

• Để vẽ đồ thị của một trong hai loại phương trình này, trước tiên chúng ta cần tìm đỉnh của parabol, đó là điểm chính giữa (h, k) tại "chóp" của đường cong. Tọa độ của đỉnh ở dạng chuẩn được cho bởi: h = -b / 2a và k = f (h), trong khi ở dạng đỉnh, h và k được xác định trong phương trình.

Bước 2. Xác định các biến của bạn

Để có thể giải một bài toán bậc hai, các biến a, b và c (hoặc a, h, và k) thường cần được xác định. Một bài toán đại số trung bình sẽ cung cấp cho bạn một phương trình bậc hai với các biến được điền vào, thường ở dạng chuẩn, nhưng đôi khi ở dạng đỉnh.

• Ví dụ, đối với phương trình dạng chuẩn f (x) = 2x² + 16x + 39, ta có a = 2, b = 16 và c = 39.
• Đối với phương trình dạng đỉnh f (x) = 4 (x - 5)² + 12, ta có a = 4, h = 5, và k = 12.

Bước 3. Tính h

Trong phương trình dạng đỉnh, giá trị của bạn cho h đã được cho trước, nhưng trong phương trình dạng chuẩn, nó phải được tính toán. Hãy nhớ rằng, đối với phương trình dạng chuẩn, h = -b / 2a.

• Trong ví dụ ở dạng chuẩn của chúng tôi (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Giải ra, ta thấy rằng h = - 4.
• Trong ví dụ dạng đỉnh của chúng ta (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ta biết h = 5 mà không cần làm bất kỳ phép toán nào.

Bước 4. Tính k

Như với h, k đã được biết trong phương trình dạng đỉnh. Đối với phương trình dạng chuẩn, hãy nhớ rằng k = f (h). Nói cách khác, bạn có thể tìm k bằng cách thay thế mọi trường hợp của x trong phương trình của bạn bằng giá trị bạn vừa tìm được cho h.

• Chúng tôi đã xác định trong ví dụ dạng chuẩn của chúng tôi rằng h = -4. Để tìm k, chúng ta giải phương trình với giá trị của h thay cho x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Bước 7.

• Trong ví dụ về dạng đỉnh của chúng ta, một lần nữa, chúng ta biết giá trị của k (là 12) mà không cần phải làm bất kỳ phép toán nào.

Bước 5. Vẽ đỉnh của bạn

Đỉnh của parabol của bạn sẽ là điểm (h, k) - h chỉ định tọa độ x, trong khi k chỉ định tọa độ y. Đỉnh là điểm chính giữa trong parabol của bạn - có thể là đáy của chữ "U" hoặc là đỉnh của chữ "U." lộn ngược. Biết được đỉnh là một phần thiết yếu của việc vẽ đồ thị một parabol chính xác - thông thường, trong bài học ở trường, việc xác định đỉnh sẽ là một phần bắt buộc của một câu hỏi.

• Trong ví dụ dạng chuẩn của chúng ta, đỉnh của chúng ta sẽ ở (-4, 7). Vì vậy, parabol của chúng ta sẽ có 4 khoảng trống ở bên trái của 0 và 7 khoảng trắng ở trên (0, 0). Chúng ta nên vẽ điểm này trên đồ thị của mình, đảm bảo gắn nhãn tọa độ.
• Trong ví dụ dạng đỉnh của chúng ta, đỉnh của chúng ta ở (5, 12). Chúng ta nên vẽ một điểm 5 khoảng trắng ở bên phải và 12 khoảng trắng ở trên (0, 0).

Bước 6. Vẽ trục của parabol (tùy chọn)

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng chạy qua giữa nó chia đôi một cách hoàn hảo. Qua trục này, phía bên trái của parabol sẽ phản chiếu phía bên phải. Đối với tứ giác có dạng ax² + bx + c hoặc a (x - h)² + k, trục là một đường thẳng song song với trục y (nói cách khác, hoàn toàn thẳng đứng) và đi qua đỉnh.

Trong trường hợp của ví dụ dạng chuẩn của chúng tôi, trục là một đường song song với trục y và đi qua điểm (-4, 7). Mặc dù bản thân nó không phải là một phần của parabol, việc đánh dấu nhẹ đường thẳng này trên đồ thị của bạn cuối cùng có thể giúp bạn thấy cách parabol cong đối xứng

Bước 7. Tìm hướng mở

Sau khi đã tìm ra đỉnh và trục của parabol, tiếp theo chúng ta cần biết liệu parabol đó mở lên trên hay xuống dưới. May mắn thay, điều này là dễ dàng. Nếu "a" là dương, parabol sẽ mở lên trên, trong khi nếu "a" là âm, parabol sẽ mở xuống dưới (tức là nó sẽ bị đảo ngược).

• Đối với ví dụ dạng chuẩn của chúng tôi (f (x) = 2x² + 16x + 39), chúng ta biết chúng ta có một parabol mở hướng lên vì, trong phương trình của chúng ta, a = 2 (dương).
• Đối với ví dụ dạng đỉnh của chúng ta (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), chúng ta biết chúng ta cũng có một parabol mở hướng lên vì a = 4 (dương).

Bước 8. Nếu cần, hãy tìm và vẽ biểu đồ x các điểm chặn

Thông thường, trong bài tập ở trường, bạn sẽ được yêu cầu tìm các giao điểm x của parabol (là một hoặc hai điểm tại đó parabol gặp trục x). Ngay cả khi bạn không tìm thấy chúng, hai điểm này có thể là vô giá để vẽ một hình parabol chính xác. Tuy nhiên, không phải tất cả các parabol đều có giao tuyến x. Nếu parabol của bạn có đỉnh mở ra phía trên và có đỉnh phía trên trục x hoặc nếu nó mở xuống và có đỉnh bên dưới trục x, nó sẽ không có bất kỳ chặn x nào. Nếu không, hãy giải quyết các lần chặn x của bạn bằng một trong các phương pháp sau:

• Đơn giản chỉ cần đặt f (x) = 0 và giải phương trình. Phương pháp này có thể phù hợp với các phương trình bậc hai đơn giản, đặc biệt là ở dạng đỉnh, nhưng sẽ cực kỳ khó đối với các phương trình phức tạp hơn. xem ví dụ bên dưới

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 và 13 là các giao điểm x của parabol.

• Tính phương trình của bạn. Một số phương trình trong ax² Dạng + bx + c có thể dễ dàng biến thành nhân tử ở dạng (dx + e) (fx + g), trong đó dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx và e × g = c. Trong trường hợp này, số chặn x của bạn là các giá trị của x làm cho một trong hai số hạng trong dấu ngoặc đơn = 0. Ví dụ:

  • NS² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Trong trường hợp này, số chặn x duy nhất của bạn là -1 vì việc đặt x bằng -1 sẽ làm cho một trong các số hạng được tính trong dấu ngoặc bằng 0.

• Sử dụng công thức bậc hai. Nếu bạn không thể dễ dàng giải các chặn x hoặc nhân tử của phương trình, hãy sử dụng một phương trình đặc biệt được gọi là công thức bậc hai được thiết kế cho mục đích này. Nếu nó chưa có, hãy đưa phương trình của bạn về dạng ax² + bx + c, sau đó cắm a, b và c vào công thức x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac)) / 2a. Lưu ý rằng điều này thường cung cấp cho bạn hai câu trả lời cho x, điều này là OK - điều này chỉ có nghĩa là parabol của bạn có hai điểm giao nhau x. Xem ví dụ bên dưới:

  • -5x² + 1x + 10 được cắm vào công thức bậc hai như sau:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
  • x = (13,18 / -10) và (-15,18 / -10). Các giao điểm x của parabol là khoảng x = - 1.318 và 1.518
  • Ví dụ về biểu mẫu chuẩn trước đây của chúng tôi, 2x² + 16x + 39 được cắm vào công thức bậc hai như sau:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
  • Bởi vì việc tìm căn bậc hai của một số âm là không thể, chúng ta biết rằng không có x chặn tồn tại cho parabol cụ thể này.

Bước 9. Nếu cần, hãy tìm và vẽ đồ thị chặn y

Mặc dù thường không cần thiết phải tìm giao điểm y của phương trình (điểm mà tại đó parabol đi qua trục y), nhưng cuối cùng bạn có thể được yêu cầu, đặc biệt nếu bạn đang đi học. Quá trình này khá dễ dàng - chỉ cần đặt x = 0, sau đó giải phương trình của bạn cho f (x) hoặc y, cung cấp cho bạn giá trị y mà tại đó parabol của bạn đi qua trục y. Không giống như giao tuyến x, các parabol tiêu chuẩn chỉ có thể có một giao tuyến y. Lưu ý - đối với phương trình dạng chuẩn, giao điểm y là y = c.

• Ví dụ, chúng ta biết phương trình bậc hai 2x² + 16x + 39 có một giao điểm y tại y = 39, nhưng nó cũng có thể được tìm thấy như sau:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Giao điểm y của parabol là tại y = 39.

    Như đã lưu ý ở trên, giao điểm y là y = c.

• Phương trình dạng đỉnh 4 (x - 5) của chúng ta² + 12 có một giao điểm y có thể được tìm thấy như sau:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Giao điểm y của parabol là tại y = 112.

Bước 10. Nếu cần, vẽ biểu đồ các điểm bổ sung, sau đó vẽ biểu đồ

Bây giờ bạn sẽ có một đỉnh, hướng, (các) điểm giao nhau, và có thể là một điểm chặn y cho phương trình của bạn. Tại thời điểm này, bạn có thể cố gắng vẽ parabol của mình bằng cách sử dụng các điểm bạn có làm kim chỉ nam hoặc bạn có thể tìm thêm các điểm để "điền" parabol của mình sao cho đường cong bạn vẽ chính xác hơn. Cách dễ nhất để làm điều này chỉ đơn giản là cắm một vài giá trị x vào hai bên đỉnh của bạn, sau đó vẽ đồ thị các điểm này bằng cách sử dụng các giá trị y mà bạn có được. Thông thường, giáo viên sẽ yêu cầu bạn đạt được một số điểm nhất định trước khi bạn vẽ hình parabol.

• Hãy xem lại phương trình x² + 2x + 1. Ta đã biết giao điểm x duy nhất của nó là x = -1. Bởi vì nó chỉ chạm vào giao tuyến x tại một điểm, chúng ta có thể suy ra rằng đỉnh của nó là giao điểm x của nó, có nghĩa là đỉnh của nó là (-1, 0). Thực tế chúng ta chỉ có một điểm cho parabol này - gần như không đủ để vẽ một parabol tốt. Hãy tìm thêm một số để đảm bảo chúng ta vẽ một biểu đồ chính xác.

  • Hãy tìm giá trị y của các giá trị x sau: 0, 1, -2 và -3.
  • Đối với 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Điểm của chúng ta là (0, 1).

  • Đối với 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Điểm của chúng ta là (1, 4).

  • Cho -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Điểm của chúng ta là (-2, 1).

  • Cho -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Điểm của chúng ta là (-3, 4).

  • Vẽ các điểm này vào biểu đồ và vẽ đường cong hình chữ U. Lưu ý rằng parabol hoàn toàn đối xứng - khi các điểm của bạn ở một bên của parabol nằm trên các số nguyên, bạn thường có thể tiết kiệm cho mình một số công việc bằng cách phản ánh một điểm đã cho qua trục đối xứng của parabol để tìm điểm tương ứng ở phía bên kia của parabol.

Video - Bằng cách sử dụng dịch vụ này, một số thông tin có thể được chia sẻ với YouTube

Lời khuyên

• Lưu ý rằng trong f (x) = ax² + bx + c, nếu b hoặc c bằng 0 thì các số đó biến mất. Ví dụ: 12x² + 0x + 6 trở thành 12x² + 6 vì 0x là 0.
• Làm tròn số hoặc sử dụng phân số như giáo viên đại số của bạn yêu cầu. Điều này sẽ giúp bạn vẽ đồ thị phương trình bậc hai một cách chính xác.